Como executar a sucumbência contra um banco que já não existe, pois depois da liquidação teria sido assumido por outro, se esse outro, que assumiu seu passivo não participou da lide?

Mesmo não participando da Lide, uma empresa quando assume a outra, assume também além do bonus, o ônus, ou seja, as suas dívidas, pois passa a ter responsabilidade Solidária/Subsidiária. Verifique "Grupo Econômico" e "Sucessão de Empresas".

Ednaldo Cunha Jr.

Não sou advogado, apenas pesquisador.
Parece que a resposta está contida na propria pergunta: Se o outro banco "assumiu o passivo" deverá arcar com o onus sucumbencial.

A dra. já verificou o aditivo do contrato social do banco que comprou o "seu banco"? O "seu banco" foi comprado em falência?

Cara Sandra, independentemente de ter assumido o "passivo podre" o banco sucessor, a meu ver, deve responder pelo pagamento dos seus honorários, mas para que não pairem dúvidas peço que esclareça qual o tipo de demanda que originou seus honorários (declaratória, indenizatória, revisional de contrato) para lhe dar maiores subsídios para sua pergunta.